Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja

Los n´umeros complejos son una creaci´on esencialmente algebraica. Cardano introdujola unidadimaginariaen 1545paraexpresarlas soluciones, aunquefueran “imaginarias”, de las ecuaciones de segundo grado, y desde este momento los algebristas encontraron cada vez m´ as evidencias de que los n´umeros imaginarios resultantes de admitir al n´umero i como si fuera un n´umero real m´ as eran suficientes para resolver cualquier ecuaci´on polin´omica. Sin embargo, una prueba de esta conjetura tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Gauss demostr´ o en su tesis doctoral que todo polinomio con coeficientes complejos se descompone en factores lineales, es decir, que tiene todas sus ra´ıces en C: ´este es el teorema fundamental del ´algebra. Otro descubrimiento de Gauss mucho m´ as simple, pero no menos importante, fue que la aritm´etica de los n´umeros complejos, introducida formalmente a partir de la relaci´on i =√−1, tiene una interpretaci´on geom´etrica sencilla si identificamos los elementos de C con los puntos del plano. Esta interpretaci´on puede considerarse como el punto de partida del estudio anal´ıtico de los n´umeros complejos. En t´erminos modernos C recibe la topolog´ ıa de R2 y la relaci´on de esta topolog´ ıa con su aritm´etica es la misma que se da en R. En particular tiene sentido la expresi´on

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